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2차 반응 속도와 시간 계산
반응속도식 개념
반응속도는 화학 반응의 진행 속도를 나타내며, 반응물의 농도 변화율로 정의됩니다:
\[\text{속도} = -\frac{d[A]}{dt} = k [A]^m [B]^n\]
여기서 \( k \): 반응 속도 상수, \( [A], [B] \): 반응물 농도, \( m, n \): 반응 차수입니다. 전체 반응 차수는 \( m + n \)입니다.
반응 차수별 속도식
- 1차 반응: \(\text{속도} = k[A]\), 적분 속도식:
\[\ln \frac{[A]_0}{[A]} = kt\]
- 2차 반응: \(\text{속도} = k[A][B]\) 또는 \(k[A]^2\). \( [A] = [B] \)일 때:
\[\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = kt\]
- 0차 반응: \(\text{속도} = k\), 적분 속도식:
\[[A]_0 - [A] = kt\]
2차 반응 특징: \( A + B \rightarrow \text{제품} \)에서 \( [A]_0 = [B]_0 \)이면, \( \frac{1}{[A]} \)가 시간에 대해 선형적으로 증가합니다.
문제
\( A + B \rightarrow C + D \)는 2차 반응이다. A와 B는 동일한 몰농도에서 반응을 시작하였고, 100초가 지나서 반응물질의 20%가 반응하였다. 반응물질 50%가 반응할 때까지 걸리는 시간[초]는?
해설
2차 반응 \( A + B \rightarrow C + D \)에서 \( [A]_0 = [B]_0 = C_0 \)일 때, 속도식은:
\[\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = kt\]
1. 주어진 정보
100초 후 반응물질의 20%가 반응했으므로, \( [A] = [B] = 0.8[A]_0 \). 목표는 \( [A] = [B] = 0.5[A]_0 \)일 때의 시간 \( t \).
2. 속도 상수 \( k \) 계산
\( t = 100 \)초, \( [A] = 0.8[A]_0 \):
\[\frac{1}{0.8[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k \cdot 100\]
\[\frac{1.25}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = \frac{0.25}{[A]_0}\]
\[k = \frac{0.25}{100[A]_0} = \frac{0.0025}{[A]_0}\]
3. 50% 반응 시 시간 계산
\( [A] = 0.5[A]_0 \):
\[\frac{1}{0.5[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k \cdot t\]
\[\frac{2}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{[A]_0}\]
\[\frac{0.0025}{[A]_0} \cdot t = \frac{1}{[A]_0}\]
\[t = \frac{1}{0.0025} = 400\]
결론: 반응물질의 50%가 반응할 때까지 걸리는 시간은 400초입니다.