호수 살충제 농도 계산 (완전혼합)

호수 살충제 농도 계산 (완전혼합)

문제

10톤의 용존 살충제가 완전혼합되는 호수에 순간적으로 유입되었다. 살충제는 휘발에 의해서만 제거되며(휘발 상수는 0.1 m/d), 호수의 총 부피는 700,000 m³, 유출 유량은 \( 1 \times 10^6 \, \text{m}^3/\text{d} \)이다. 시간에 따른 살충제의 농도 식(함수)를 구하고, 살충제 농도가 0.2 ppm이 되는데 걸리는 시간을 구하라. (단, \( C = C_0 e^{-\left( \frac{k+1}{\tau} \right) t} \) 활용하라.)

1) 초기 농도 (\( C_0 \)) 계산

• 살충제 질량: 10톤 = \( 10 \times 10^6 \, \text{g} \).
• 호수 부피 (\( V \)): \( 700,000 \, \text{m}^3 = 7 \times 10^8 \, \text{L} \) (1 m³ = 1000 L).
• 초기 농도 (\( C_0 \)):
  \( C_0 = \frac{10 \times 10^6}{7 \times 10^8} = \frac{1}{70} \, \text{g/L} \)
  \( C_0 = \frac{1}{70} \times 1000 = \frac{100}{7} \approx 14.2857 \, \text{ppm} \)
• 비유: 호수를 물탱크라고 생각하면, 10톤의 살충제를 넣고 섞었을 때 처음 농도가 14.2857 ppm입니다.

2) 체류 시간 (\( \tau \)) 계산

• 유출 유량 (\( Q \)): \( 1 \times 10^6 \, \text{m}^3/\text{d} \).
• 체류 시간 (\( \tau \)):
  \( \tau = \frac{V}{Q} = \frac{700,000}{1 \times 10^6} = 0.7 \, \text{days} \)
• 비유: 물탱크에서 물이 하루에 \( 1 \times 10^6 \, \text{m}^3 \)씩 빠져나가고, 탱크에 물이 \( 700,000 \, \text{m}^3 \) 있으니, 물이 다 빠져나가려면 0.7일 걸립니다.

3) 농도 식 구하기 (쉽게 이해)

주어진 식: \( C = C_0 e^{-\left( \frac{k+1}{\tau} \right) t} \).

비유로 이해

호수를 물탱크, 살충제를 염료라고 생각하세요. 처음 염료 농도는 14.2857 ppm입니다. 시간이 지나면서 염료는 두 가지 방법으로 줄어듭니다: 1) 휘발(공기 중으로 날아감), 2) 유출(물과 함께 빠져나감). 이 감소 속도를 \( \frac{k+1}{\tau} \)로 나타냅니다.

단계별 계산

• 초기 농도 (\( C_0 \)) 대입:
  \( C_0 = \frac{100}{7} \approx 14.2857 \, \text{ppm} \)
  \( C = \left( \frac{100}{7} \right) e^{-\left( \frac{k+1}{\tau} \right) t} \)
• \( \frac{k+1}{\tau} \) 계산:
  • \( k = 0.1 \, \text{d}^{-1} \) (단위 가정: 문제에서 \( 0.1 \, \text{m}/\text{d} \)로 주어졌으나, 식에서 \( \text{d}^{-1} \) 단위가 필요하므로 가정).
  • \( \tau = 0.7 \, \text{days} \).
  • \( k + 1 = 0.1 + 1 = 1.1 \)
  • \( \frac{k+1}{\tau} = \frac{1.1}{0.7} = \frac{11}{7} \approx 1.5714 \, \text{d}^{-1} \)
• 최종 농도 식:
  \( C(t) = \frac{100}{7} e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \approx 14.2857 e^{-1.5714 t} \, \text{ppm} \)
• 의미: 처음 농도 14.2857 ppm에서 시작해서, 시간이 지날수록 \( e^{-1.5714 t} \) 비율로 줄어듭니다. 예: \( t = 1 \)일 때 \( C \approx 2.97 \, \text{ppm} \).

4) 농도가 0.2 ppm이 되는 시간 (\( t \)) 계산

• 목표 농도: \( C = 0.2 \, \text{ppm} \).
• 식에 대입:
  \( 0.2 = \frac{100}{7} e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \)
  \( \frac{0.2}{\frac{100}{7}} = e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \)
  \( 0.014 = e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \)
• 자연로그 취하기:
  \( \ln(0.014) = -\left( \frac{11}{7} \right) t \)
  \( -4.2687 = -\left( \frac{11}{7} \right) t \)
  \( t = \frac{4.2687}{\frac{11}{7}} \approx 2.7145 \, \text{days} \)

5) 결과

• 농도 식:
  \( C(t) = \frac{100}{7} e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \approx 14.2857 e^{-1.5714 t} \, \text{ppm} \)
• 0.2 ppm 도달 시간: \( t \approx 2.7145 \, \text{days} \).

시험 답변 예시

호수에 10톤의 살충제가 유입되어 완전혼합된다. 초기 농도 \( C_0 = \frac{10 \times 10^6}{7 \times 10^8} \times 1000 = \frac{100}{7} \, \text{ppm} \), 체류 시간 \( \tau = \frac{700,000}{1 \times 10^6} = 0.7 \, \text{days} \), 휘발 상수 \( k = 0.1 \, \text{d}^{-1} \) (단위 가정)이다. 주어진 식 \( C = C_0 e^{-\left( \frac{k+1}{\tau} \right) t} \)에 대입하면, \( \frac{k+1}{\tau} = \frac{1.1}{0.7} = \frac{11}{7} \), 농도 식은 \( C(t) = \frac{100}{7} e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \)이다. 농도가 0.2 ppm이 되려면 \( 0.2 = \frac{100}{7} e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} \), \( e^{-\left( \frac{11}{7} \right) t} = 0.014 \), \( t = \frac{\ln(0.014)}{\frac{11}{7}} \approx 2.7145 \, \text{days} \)이다.