하천 분산 오염원 농도 계산

하천 분산 오염원 농도 계산

문제

하천(단면적 3000 m²)에 분산 오염원이 유입된다고 한다. 분산 오염원의 부하량은 15 g/m³/d이며, 분산 오염은 8 km에 걸쳐 유입되고 그 이후에는 유입되지 않는다. 유입 시점에서 8 km 하류 지역의 오염물질 농도는 얼마인가? (단, $k=0.8{\text{d}}^{-1}$). 필요하면 아래 식을 활용하라.

$C=C_0{e}^{-\frac{k}{u}x}+\frac{S_p}{k}(1-e^{-\frac{k}{u}x})$

1) 주어진 조건 및 가정

• 하천 단면적 ($A$): $3000{\text{m}}^2$.
• 분산 오염원 부하량 ($S_p$): $15\text{g}/{\text{m}}^3/\text{d}$.
• 유입 구간 ($x$): $8\text{km}=8000\text{m}$.
• 제거율 상수 ($k$): $0.8{\text{d}}^{-1}$.
• 초기 농도 ($C_0$): $0\text{g}/{\text{m}}^3$ (문제에서 언급 없으므로 가정).
• 유속 ($u$): 주어지지 않음, 여러 값으로 계산.
• 주어진 식:
  $C=C_0{e}^{-\frac{k}{u}x}+\frac{S_p}{k}(1-e^{-\frac{k}{u}x})$

2) 식 단순화 및 해석

$C_0=0$이므로 식은:

$C=\frac{S_p}{k}(1-e^{-\frac{k}{u}x})$

항목 해석

• $e^{-\frac{k}{u}x}$: 오염물질의 자연적 감소 효과. $x$가 커질수록 0에 가까워짐.
• $\frac{S_p}{k}$:
  $\frac{S_p}{k}=\frac{15}{0.8}=18.75\text{g}/{\text{m}}^3$
  오염원이 무한히 유입되었을 때의 최대 평형 농도.
• $1-e^{-\frac{k}{u}x}$: $x$가 커질수록 1에 가까워짐.

3) $u$에 따른 농도 계산

3-1) $u=1\text{m}/\text{s}$

• 단위 변환: $u=1\text{m}/\text{s}=86400\text{m}/\text{d}$.
• $\frac{k}{u}x$:
  $\frac{k}{u}x=\frac{0.8}{86400}\times 8000\approx 0.074074$
• $e^{-\frac{k}{u}x}$:
  $e^{-0.074074}\approx 0.9286$
• $1-e^{-\frac{k}{u}x}$:
  $1-0.9286=0.0714$
• 농도 ($C$):
  $C=18.75\times 0.0714\approx 1.33875\text{g}/{\text{m}}^3$

3-2) $u=0.01\text{m}/\text{s}$

• 단위 변환: $u=0.01\text{m}/\text{s}=864\text{m}/\text{d}$.
• $\frac{k}{u}x$:
  $\frac{k}{u}x=\frac{0.8}{864}\times 8000\approx 7.4074$
• $e^{-\frac{k}{u}x}$:
  $e^{-7.4074}\approx 0.0006$
• $1-e^{-\frac{k}{u}x}$:
  $1-0.0006=0.9994$
• 농도 ($C$):
  $C=18.75\times 0.9994\approx 18.74\text{g}/{\text{m}}^3$

4) 결과 및 해석

• 결과: $u$가 작아질수록 $C\to \frac{S_p}{k}=18.75\text{g}/{\text{m}}^3$.
• 해석: $x=8000\text{m}$가 충분히 크고 $u$가 작으면 $e^{-\frac{k}{u}x}\to 0$, 따라서 $C\to 18.75\text{g}/{\text{m}}^3$. 일반적 하천 유속 ($0.1\sim 2\text{m}/\text{s}$)에서는 $C$가 더 작음.

시험 답변 예시

하천(단면적 3000 m²)에 분산 오염원(15 g/m³/d)이 8 km 구간 유입된다. 초기 농도 $C_0=0$, 제거율 $k=0.8{\text{d}}^{-1}$. 식 $C=\frac{S_p}{k}(1-e^{-\frac{k}{u}x})$에 대입하면, $\frac{S_p}{k}=\frac{15}{0.8}=18.75\text{g}/{\text{m}}^3$. $u$가 작아질수록 $e^{-\frac{k}{u}x}\to 0$, 따라서 $C\to 18.75\text{g}/{\text{m}}^3$. 예를 들어 $u=0.01\text{m}/\text{s}$일 때 $C\approx 18.74\text{g}/{\text{m}}^3$, $u=1\text{m}/\text{s}$일 때 $C\approx 1.33875\text{g}/{\text{m}}^3$. $u$가 작을수록 농도는 최대 평형 농도 18.75 g/m³에 수렴한다.