완전혼합 흐름 반응식 (하천 자정작용)

완전혼합 흐름(CMF)과 하천 자정작용

완전혼합 흐름(CMF)은 하천에서 물과 오염물질이 완전히 섞여 농도가 균일한 상태를 가정한다. 하천 자정작용에서 물질 수지, 반응식, 정상 상태 농도를 통해 분석한다.

⓵ 완전혼합 흐름에서 물질 수지 방정식

완전혼합 흐름에서는 유입, 유출, 생성, 소멸, 축적이 균형을 이룬다. 수학적으로:

\[ Q C_{in} - Q C + r V = V \frac{dC}{dt} \]

- \( Q \): 유량 (m³/day)
- \( C_{in} \): 유입 농도 (mg/L)
- \( C \): 시스템 내 농도 (mg/L)
- \( r \): 반응 속도 (mg/L·day)
- \( V \): 시스템 부피 (m³)
- \( \frac{dC}{dt} \): 농도 변화율 (mg/L·day)

⓶ 1차 반응식 (First-Order Reaction)

하천 자정작용에서 유기물(BOD) 분해는 1차 반응으로 가정한다.

\[ r = -k C \]

- \( r \): 반응 속도 (mg/L·day)
- \( k \): 반응 속도 상수 (1/day)
- \( C \): 오염물질 농도 (mg/L)

의미: 박테리아가 유기물을 분해하는 속도는 남은 유기물 농도에 비례한다.

⓷ 정상 상태에서의 농도

정상 상태에서는 농도가 변하지 않는다(\( \frac{dC}{dt} = 0 \)).

물질 수지 방정식에 대입:

\[ Q C_{in} - Q C + r V = 0 \]

1차 반응식(\( r = -k C \))을 대입해 정리:

\[ Q C_{in} = Q C + k C V \]

\[ C = \frac{Q C_{in}}{Q + k V} \]

의미: 정상 상태에서 오염물질 농도는 유입량, 유량, 분해 속도, 부피에 의해 결정된다.

⓸ 완전혼합 흐름의 특징

• 균일한 농도: 하천 구간에서 오염물질 농도가 모두 같다.
• 단순화 모델: 복잡한 하천 흐름을 단순화해 분석 가능하다.
• 적용성: 오염 부하가 일정하고 흐름이 안정적인 구간에서 유용하다.
• 한계: 실제 하천의 난류, 광합성, 침전 등 추가 요인 반영이 어렵다.

외우기 팁

• 물질 수지: 유입 - 유출 + 반응 = 축적
• 1차 반응: \( r = -k C \) (농도에 비례)
• 정상 상태: \( Q C_{in} = Q C + k C V \) → \( C = \frac{Q C_{in}}{Q + k V} \)
• 특징: 균일, 단순, 유용하지만 한계 있음

시험 답변 예시

완전혼합 흐름(CMF)은 하천에서 물과 오염물질이 완전히 섞인 상태를 가정한다. ⓵ 물질 수지 방정식은 \( Q C_{in} - Q C + r V = V \frac{dC}{dt} \)로, 유입, 유출, 반응, 축적을 나타낸다. ⓶ 1차 반응식은 \( r = -k C \)로, 유기물 분해 속도가 농도에 비례한다. ⓷ 정상 상태에서는 \( \frac{dC}{dt} = 0 \)이므로 \( Q C_{in} = Q C + k C V \), 즉 \( C = \frac{Q C_{in}}{Q + k V} \)로 농도를 구한다. ⓸ 완전혼합 흐름의 특징은 농도가 균일하고 단순화 모델로 분석이 쉽지만, 실제 하천의 복잡한 요인은 반영하기 어렵다.