티스토리 뷰
속도반응식 문제 해설
문제
주어진 속도반응식에 대한 설명으로 가장 옳지 않은 것은? 속도반응식은 \( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_0} + 0.5 t \) (\( r^2 = 0.99 \))를 따른다. 여기서 \( t \) = 시간(hr), \( C_0 = 10 \, \text{mg/L} \) (초기 농도), \( C \) = \( t \)시간 후 잔류 농도(mg/L)이다.
- 반응속도는 이차반응을 따른다.
- 반응의 반감기(\( t_{1/2} \))는 0.05 hr이다.
- 반응속도는 초기 농도(\( C_0 \))에 영향을 받는다.
- 반응속도상수(\( k \)) 값은 0.5 L/(mg·L)이다.
정답
가장 옳지 않은 선택지는 2번: "반응의 반감기(\( t_{1/2} \))는 0.05 hr이다."
선택지 분석 및 해설
속도반응식 \( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_0} + 0.5 t \)를 바탕으로 분석합니다.
1. 반응속도는 이차반응을 따른다.
분석: 속도식 \( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_0} + 0.5 t \)는 이차반응의 적분형 속도식 \( \frac{1}{[C]} = \frac{1}{[C_0]} + k t \)와 일치합니다. 이차반응 속도식은:
\[ r = -\frac{d[C]}{dt} = k [C]^2 \]
따라서 이차반응임을 확인할 수 있습니다.
결론: 올바름.
2. 반응의 반감기(\( t_{1/2} \))는 0.05 hr이다.
분석: 이차반응의 반감기는:
\[ t_{1/2} = \frac{1}{k C_0} \]
주어진 정보: \( C_0 = 10 \, \text{mg/L} \), \( k = 0.5 \, \text{L/(mg·hr)} \). 계산:
\[ t_{1/2} = \frac{1}{0.5 \cdot 10} = 0.2 \, \text{hr} \]
선택지의 0.05 hr는 틀렸습니다.
결론: 틀림.
3. 반응속도는 초기 농도(\( C_0 \))에 영향을 받는다.
분석: 이차반응 속도식 \( r = k [C]^2 \)에서 초기 속도는:
\[ r_0 = k [C_0]^2 \]
\( C_0 \)가 증가하면 속도가 제곱 비율로 증가합니다.
결론: 올바름.
4. 반응속도상수(\( k \)) 값은 0.5 L/(mg·L)이다.
분석: 속도식 \( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_0} + 0.5 t \)에서 \( k = 0.5 \). 단위: \( \frac{1}{C} \), \( \frac{1}{C_0} \)는 L/mg, \( t \)는 hr이므로:
\[ k \cdot \text{hr} = \text{L/mg} \implies k = \text{L/(mg·hr)} \]
선택지의 "L/(mg·L)"은 오타로, \( k = 0.5 \, \text{L/(mg·hr)} \)로 간주하면 맞습니다.
결론: 올바름 (단위 오타 감안).
최종 요약
- 1번: 이차반응 → 올바름.
- 2번: 반감기 0.05 hr → 틀림 (0.2 hr).
- 3번: 초기 농도 영향 → 올바름.
- 4번: \( k = 0.5 \, \text{L/(mg·hr)} \) → 올바름 (단위 오타).
가장 옳지 않은 선택지: 2번.
영차, 일차, 이차 반응 속도식의 이유와 유도
영차, 일차, 이차 반응의 속도식이 왜 \( r = k \), \( r = k[A] \), \( r = k[A]^2 \)인지 화학적·물리적 이유를 설명하고, 적분형 속도식과 반감기를 유도합니다.
1. 영차 반응 (Zero-Order Reaction)
쉽게 이해하기: 왜 \( r = k \)?
영차 반응은 농도와 무관하게 속도가 일정해요. 촉매가 포화되거나 빛 세기가 제한 요인일 때 발생합니다. 수도꼭지 물방울처럼 일정 속도로 진행돼요.
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k \] (\( k \): mol/(L·s))
왜 이런 속도식인가?
반응 속도가 촉매 표면의 활성 자리나 외부 요인에 의해 결정되므로, 반응물 농도 \([A]\)에 의존하지 않고 상수 \( k \)로 고정됩니다.
적분형 속도식 유도
속도식: \[ -\frac{d[A]}{dt} = k \]
변수 분리: \[ -d[A] = k \, dt \]
범위: \( t=0 \) (\([A] = [A_0]\)) → \( t=t \) (\([A] = [A]\))
적분: \[ -\int_{[A_0]}^{[A]} d[A] = \int_0^t k \, dt \]
- 좌변: \[ \int_{[A_0]}^{[A]} d[A] = [A] - [A_0] \], ∴ \[ -([A] - [A_0]) = [A_0] - [A] \]
- 우변: \[ \int_0^t k \, dt = k t \]
결과: \[ [A] = [A_0] - k t \]
반감기 유도
\[ \frac{[A_0]}{2} = [A_0] - k \cdot t_{1/2} \]
\[ t_{1/2} = \frac{[A_0]}{2k} \]
2. 일차 반응 (First-Order Reaction)
쉽게 이해하기: 왜 \( r = k[A] \)?
일차 반응은 농도 \([A]\)에 비례해 속도가 빨라져요. 단일 분자가 분해(예: 방사성 붕괴)될 때 발생하며, 분자가 많을수록 반응이 더 자주 일어나요.
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k [A] \] (\( k \): s⁻¹)
왜 이런 속도식인가?
각 분자가 독립적으로 반응하므로, 분자 수(농도)에 비례해 반응 빈도가 증가합니다.
적분형 속도식 유도
속도식: \[ -\frac{d[A]}{dt} = k [A] \]
변수 분리: \[ -\frac{d[A]}{[A]} = k \, dt \]
범위: \( t=0 \) (\([A] = [A_0]\)) → \( t=t \) (\([A] = [A]\))
적분: \[ -\int_{[A_0]}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]} = \int_0^t k \, dt \]
- 좌변: \[ \int_{[A_0]}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]} = \ln[A] - \ln[A_0] \], ∴ \[ \ln\left(\frac{[A_0]}{[A]}\right) \]
- 우변: \[ \int_0^t k \, dt = k t \]
결과: \[ \ln[A] = \ln[A_0] - k t \] 또는 \[ [A] = [A_0] e^{-k t} \]
반감기 유도
\[ \ln\left(\frac{[A_0]}{[A_0]/2}\right) = k \cdot t_{1/2} \]
\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{0.693}{k} \]
3. 이차 반응 (Second-Order Reaction)
쉽게 이해하기: 왜 \( r = k[A]^2 \)?
이차 반응은 농도 제곱에 비례해 속도가 빨라져요. 두 분자가 충돌해야 반응이 일어나므로, 충돌 확률이 농도 제곱에 비례합니다.
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k [A]^2 \] (\( k \): L/(mol·s))
왜 이런 속도식인가?
두 분자의 충돌 빈도는 각 농도 \([A]\)의 곱에 비례하므로, 단일 반응물일 경우 \([A]^2\)에 비례합니다.
적분형 속도식 유도
속도식: \[ -\frac{d[A]}{dt} = k [A]^2 \]
변수 분리: \[ -\frac{d[A]}{[A]^2} = k \, dt \]
범위: \( t=0 \) (\([A] = [A_0]\)) → \( t=t \) (\([A] = [A]\))
적분: \[ -\int_{[A_0]}^{[A]} [A]^{-2} \, d[A] = \int_0^t k \, dt \]
- 좌변: \[ \int_{[A_0]}^{[A]} [A]^{-2} \, d[A] = \frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A_0]} \]
- 우변: \[ \int_0^t k \, dt = k t \]
결과: \[ \frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A_0]} + k t \]
반감기 유도
\[ \frac{1}{[A_0]/2} - \frac{1}{[A_0]} = k \cdot t_{1/2} \]
\[ t_{1/2} = \frac{1}{k [A_0]} \]
비교 요약
| 특성 | 영차 반응 | 일차 반응 | 이차 반응 |
|---|---|---|---|
| 속도식 | \( r = k \) | \( r = k [A] \) | \( r = k [A]^2 \) |
| 적분형 속도식 | \( [A] = [A_0] - k t \) | \( \ln[A] = \ln[A_0] - k t \) | \( \frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A_0]} + k t \) |
| 그래프 | \([A]\) vs. \(t\) 직선 | \(\ln[A]\) vs. \(t\) 직선 | \(\frac{1}{[A]}\) vs. \(t\) 직선 |
| 반감기 | \( t_{1/2} = \frac{[A_0]}{2k} \) | \( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \) | \( t_{1/2} = \frac{1}{k [A_0]} \) |
| k 단위 | mol/(L·s) | s⁻¹ | L/(mol·s) |
영차, 일차, 이차 반응에서 \( k \) 단위 이해하기
영차, 일차, 이차 반응에서 반응속도상수 \( k \)의 단위가 왜 다른지, 단위 분석과 직관적 설명으로 알아봅니다.
1. 단위 이해의 핵심: 반응 속도
반응 속도 \( r = -\frac{d[A]}{dt} \)의 단위는:
\[ \text{단위}(r) = \frac{\text{mol/L}}{\text{s}} = \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \]
\( k \)의 단위는 속도식의 좌변과 우변 단위를 일치시키기 위해 결정됩니다.
2. 영차 반응 (Zero-Order Reaction)
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k \]
단위 분석
좌변: \( \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \)
우변: \( k \)
\[ \text{단위}(k) = \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \]
직관적 이해
속도가 농도와 무관하므로, \( k \)는 속도 자체를 나타냅니다. 예: 촉매 포화 시 고정된 속도.
3. 일차 반응 (First-Order Reaction)
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k [A] \]
단위 분석
좌변: \( \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \)
우변: \( k \cdot (\text{mol} \cdot \text{L}^{-1}) \)
\[ \text{단위}(k) = \frac{\text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1}}{\text{mol} \cdot \text{L}^{-1}} = \text{s}^{-1} \]
직관적 이해
\( k \)는 농도를 정규화한 시간당 반응 비율입니다. 예: 방사성 붕괴의 붕괴 상수.
4. 이차 반응 (Second-Order Reaction)
속도식
\[ r = -\frac{d[A]}{dt} = k [A]^2 \]
단위 분석
좌변: \( \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \)
우변: \( k \cdot (\text{mol} \cdot \text{L}^{-1})^2 \)
\[ \text{단위}(k) = \frac{\text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1}}{\text{mol}^2 \cdot \text{L}^{-2}} = \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \]
직관적 이해
\( k \)는 두 분자 충돌 빈도를 조절합니다. \( \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \)는 농도 제곱을 상쇄합니다.
비교 요약
| 반응 차수 | 속도식 | \( k \) 단위 | 직관적 의미 |
|---|---|---|---|
| 영차 | \( r = k \) | \( \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \) | 속도 자체 |
| 일차 | \( r = k [A] \) | \( \text{s}^{-1} \) | 시간당 반응 비율 |
| 이차 | \( r = k [A]^2 \) | \( \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \) | 충돌 빈도 조절 |